Le serie numeriche

Il meccanismo delle serie è stato introdotto per generalizzare l'operazione di somma nel caso che si vogliano sommare infiniti termini. Le serie si distinguono primariamente in base alla natura dei termini che si sommano. Le serie di numeri reali o complessi sono utilizzate, in particolare, per calcolare vari numeri irrazionali a partire da successioni di numeri razionali.
Consideriamo una successione numerica con ed associamo ad ogni la somma parziale definita da: , , , , , ovvero .
Definiamo dunque serie la successione delle somme parziali.
Il limite delle somme parziali esprime il carattere della serie. Si distinguono tre casi:
  • Se il limite esiste ed è finito la serie si dice convergente.
  • Se il limite è infinito la serie si dice divergente.
  • Se il limite non esiste la serie si dice indeterminata o oscillante.
Se la serie converge o diverge, la serie si dice regolare. Poiché il calcolo di sn e del suo limite non sono sempre agevoli, ci dovremo poi preoccupare di trovare dei criteri di convergenza. È importante conoscere il carattere di alcune cosiddette serie fondamentali, cioè serie specifiche che vengono utilizzate spesso nell'applicazione dei criteri di convergenza.
  • Serie di Mengoli.
  • Serie geometrica.
  • Serie armonica.
Negli esempi cercheremo di determinare il carattere di una serie basandoci sulla definizione.
1. Stabiliamo il carattere della serie

Dobbiamo calcolare l'espressione del termine e successivamente determinare il limite . La successione dei numeri naturali può essere considerata una progressione aritmetica di ragione e che la somma dei primi termini di tale progressione è dato da .
Calcoliamo ora il limite di questa somma: , quindi la serie diverge positivamente.


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